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    標題 華人數學家死磕歐拉方程 10 年 找到了讓它失效的“奇點”
    分類 熱點事件
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    專研長達 10 年，論文足足 177 頁。

    華人數學家通過計算機，找到了讓著名歐拉方程失效的 " 奇點 "。

    6379d256622768ca23000000_10245445.jpg△圖源：Quanta Magazine

    歐拉方程，是 250 年前（1755 年）由瑞士數學家歐拉提出，屬于無黏性流體動力學中最重要的基本方程。

    它可以說是 " 鼻祖級 " 的方程，正如杜克大學數學家 Tarek Elgindi 的評價：

    幾乎所有的非線性流體方程都是從歐拉方程推導出來的。

    即便如此，幾百年來仍有許多 " 未解之謎 " 讓數學家們困惑不已。

    例如原則上，如果你已知流體中每個粒子的位置和速度，歐拉方程應該能夠預測流體將如何一直演化下去。

    但數學家們認為，歐拉方程在某個 " 奇點 " 上便會開始輸出沒有意義的數值，也就是無法再做精準預測。

    而一旦達到這個點，人們就認為歐拉方程失效了，更戲劇化的說法，叫做產生了 " 爆破 "（blow up）。

    來自加州理工學院華人數學家 Thomas Hou 等人所做的研究工作，就是通過計算機對此做出了證明。

    6379d256622768ca23000001_10245445.jpg馬里蘭大學數學家 Tristan Buckmaster 在看完這項工作后說：

    這是一個驚人的結果。

    此前從來沒有過。

    用計算機證明歐拉方程的 " 爆破 "

    早在 2013 年的時候，Thomas Hou 和現在就職于香港恒生大學的 Guo Luo 就提出過一個假設：

    歐拉方程會導致一個奇點。

    為此，他們開發了一種計算機來模擬圓柱體中的流體：

    6379d256622768ca23000002_10245445.jpg圓柱體內的液體，上半部分是順時針旋轉，而下半部分則是逆時針旋轉。

    這兩股相反方向的水流在運動的過程中，產生了其它復雜的情況——出現上下循環的水流。

    而在它們相遇的地方，流體的渦度（描述流體旋轉情況的流體力學概念）以極快的速度增長，似乎隨時就要 " 爆破 "。

    但他們當時的研究只能說對于 " 奇點存在 " 是具備啟示性，并沒有真正意義的證據。

    這是因為計算機不可能計算出無窮大的值，它可以算出的是非常接近奇點的近似值，但并非是精準的那種。

    事實上，當用更強大的計算方法探測時，明顯的奇點卻已經消失了。

    也正因如此，普林斯頓大學數學家 Charlie Fefferman 評價過去人們對這件事的研究為：

    問題非常的微妙，以至于到處都是模擬研究的 " 殘骸 "。

    但 Thomas Hou 等人卻不為所動，堅持 " 死磕 " 這一難題。

    終于在 9 年后，他和他之前的研究生 Jiajie Chen 成功證明了附近奇點的存在。

    他們先是仔細分析了 2013 年的研究，發現那個近似解似乎有一個特殊的結構：

    隨著時間的推移，這些方程的解會呈現出一種所謂的 " 自相似模式 "（self-similar pattern），它的形狀后來看起來很像它的早期形狀，只是以一種特定的方式重新縮放。

    因此，二人認為不需要去研究奇點的本身，相反，可以關注更早的時間點來間接對它做研究。

    具體而言，就是通過正確的速率放大解的這部分（是由解的自相似結構決定的），可以模擬之后會發生什么。

    為此，他們花費了好幾年的時間才找到了與 2013 年 " 爆破 " 情況類似的自我模擬方案。

    然后二人需要做的工作，就是證明奇點附近存在一個精確的解。

    從數學層面上來說，就是要證明他們找到的那個解是穩定的，即便對它進行擾動，結果也能在近似解周圍小鄰域的范圍內。

    但在這個過程中，Thomas Hou 發現，他們不得不再借助計算機的力量，因為有太多的精度要確定，計算量簡直大到驚人的程度。

    但也正如剛才我們提到的，計算機是無法計算無窮大的值，微小的錯誤可以說是在所難免，因此他們也要小心地跟蹤這些錯誤，以免影響到其它結果。

    最終，在 " 人機結合 " 的方式之下，Thomas Hou 和 Jiajie Chen 最終找到了所有項的邊界，并完成了證明——

    歐拉方程確實會產生一個奇點。

    而這次的證明過程，讓 Thomas Hou 感受頗深：

    現在的數學工作不再是靠紙和筆，計算機是一種更強大的武器。

    對此，Fefferman 也補充道：

    在我看來，如果不大量使用計算機輔助證明，就好像把（數學家）的雙手綁在背后一樣。

    作者介紹

    這項研究的作者之一是 Thomas Hou，加州理工學院計算與數學科學教授，專攻數值分析和數學分析相關工作。

    6379d256622768ca23000003_10245445.jpg他本科就讀于華南理工大學，于 1982 年獲得學士學位；他的博士生涯是在加州大學洛杉磯分校完成。

    1989 年到 1993 年期間，他在紐約大學庫朗數學科學研究所任教。

    自 1993 年至今，他便一直在加州理工學院任教。

    研究的另一位作者是 Jiajie Chen，目前是紐約大學的數學科學家。

    他在研究生期間就證明了各種流體方程式可以 " 爆破 "。

    6379d256622768ca23000004_10245445.jpg論文地址：

    https://arxiv.org/abs/2210.07191

    參考鏈接：

    https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/

    https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Hou

         華人數學家死磕歐拉方程 10 年 找到了讓它失效的“奇點” 千里之行，旭日東升始于五顏六色足下9. 其實成長，就是一顆美味的糖果，那唇齒留香的滋味回味我們無窮無盡的遐想?？墒侨绻患右怨澲?，我們便嘗不到那最初的那份甜蜜，取而代之的必定將是陣陣疼痛。所以成長中的我要學會排解煩惱，保護好我們的“牙齒”。只有這樣，我們才會品味到更多的甜蜜與快樂！85. I prefer to live in the country rather than live in the city.390.長亭外，古道邊，芳草碧連天。晚風拂柳笛聲殘，夕陽山外山。 天之涯，地之角，知交半零落。一觚濁酒盡余歡，今宵別夢寒。李叔同《 送別》    天仙子　張先驚聞俗客爭來集，競引還家問都邑。歐拉,計算機,數學,研究生45、Use legs and have legs.
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    更新時間：2025/4/24 1:21:03
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